Question

如图1，A、D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm²，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式．

Answer

（1）先连接AD，设点A的坐标为（a，0），由图2得出DO=6-AO和S△AOD=4，即可得出DO•AO=4，从而得出a的值，再根据图2得出A的坐标，再延长CB交x轴于M，根据D点的坐标得出AB=5cm，CB=1cm，即可求出AM==4，从而得出点B的坐标．
（2）先设点P（x，y），连PC、PO，得出S四边形DPBC的面积，再进行整理，即可得出x与y的关系，再由A，B点的坐标，求出直线AB的函数关系式，从而求出x、y的值，即可得出P点的坐标，再设直线PD的函数关系式为y=kx+4，求出K的值，即可得出直线PD的函数关系式．
【解析】
（1）连接AD，设点A的坐标为（a，0），
由图2知，则DO+OA=6cm，
DO=6-AO=6-a，
由图2知S△AOD=4，
∴DO•AO=a（6-a）=4，
整理得：a2-6a+8=0，
解得a=2或a=4，
由图2知，DO＞3，
∴AO＜3，
∴a=2，
∴A的坐标为（2，0），
D点坐标为（0，4），
在图1中，延长CB交x轴于M，
由图2，知AB=5cm，CB=1cm，
∴MB=3，
∴AM==4．
∴OM=6，
∴B点坐标为（6，3）；

（2）因为P在OA、BC、CD上时，直线PD都不能将五边形OABCD分成面积相等的两部分，
所以只有点P一定在AB上时，才能将五边形OABCD分成面积相等的两部分，
设点P（x，y），连PC、PO，则
S四边形DPBC=S△DPC+S△PBC=S五边形OABCD=（S矩形OMCD-S△ABM）=9，
∴6×（4-y）+×1×（6-x）=9，
即x+6y=12，
同理，由S四边形DPAO=9可得2x+y=9，
由，
解得x=，y=．
∴P（，），
设直线PD的函数关系式为y=kx+4（k≠0），
则=k+4，
∴k=-，
∴直线PD的函数关系式为y=-x+4．