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如图,AB为⊙O的直径,AC为⊙O的弦,AD平分∠BAC,交⊙O于点D,DE⊥A...

如图,AB为⊙O的直径,AC为⊙O的弦,AD平分∠BAC,交⊙O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E.
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AE=8,⊙O的半径为5,求DE的长.

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(1)直线DE与圆O相切,理由为:连接OD,由AD为角平分线得到一对角相等,再由OA=OD,根据等边对等角得到一对角相等,等量代换可得出一对内错角相等,根据内错角相等两直线平行得出OD平行于AE,由∠AED为直角,得到∠ODE为直角,即DE垂直于OD,可得出DE为圆O的切线; (2)法1:过D作DF垂直于AB,交AB于点F,又AE垂直于ED,得到一对直角相等,再由AD为角平分线得到一对角相等,且AD为公共边,利用AAS三角形ADE与三角形ADF全等,根据全等三角形的对应边相等可得出AE=AF,DE=DF,由AF-OA求出OF的长,在直角三角形PDF中,由OD及OF的长,利用勾股定理求出DF的长,即为DE的长; 法2:连接DB,由AB为圆O的直径,根据直径所对的角为直角得到一个直角,再由AE垂直于ED得到两一个直角,两直角相等,再加上AD为角平分线得到一对角相等,利用两对对应角相等的两数三角形相似可得出三角形AED与三角形ABD相似,由相似得比例,将AE及AB的长代入求出AD的长,在直角三角形ADE中,由AD及AE的长,利用勾股定理即可求出DE的长; 法3:过O作OF垂直于AD,根据垂径定理得到F为AD的中点,且得到一个角为直角,再由DE垂直于AE得到另一个角为直角,进而得到两直角相等,再由AD为角平分线得到的一对角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AED与三角形AOF相似,根据相似得比例,将AE及OA的长代入,得到关于AD的方程,求出方程的解得到AD的长,在直角三角形AED中,由AE及AD的长,利用勾股定理即可求出ED的长. 【解析】 (1)直线DE与⊙O相切,理由如下: 连接OD,如图所示: ∵AD平分∠BAC, ∴∠EAD=∠OAD, ∵OA=OD, ∴∠ODA=∠OAD, ∴∠ODA=∠EAD, ∴EA∥OD, ∵DE⊥EA, ∴DE⊥OD, 又∵点D在⊙O上, ∴直线DE与⊙O相切; (2)法1:如图,作DF⊥AB,垂足为F, ∴∠DFA=∠DEA=90°, ∵AD为角平分线, ∴∠EAD=∠FAD, 在△EAD和△FAD中, ∵, ∴△EAD≌△FAD(AAS),又AE=8, ∴AF=AE=8,DF=DE, ∵OA=OD=5, ∴OF=AF-OA=8-5=3, 在Rt△DOF中,OD=5,OF=3, 根据勾股定理得:DF==4, 则DE=DF=4; 法2:如图,连接DB, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠ADB=90°,又∠AED=90°, ∴∠ADB=∠AED,又∠EAD=∠DAB, ∴△EAD∽△DAB,又AE=8,BA=2OA=10, ∴=,即=, 解得:DA=4, 在Rt△ADE中,AE=8,AD=4, DE==4; 法3:如图,作OF⊥AD,垂足为F, ∴AF=AD,∠AFO=∠AED=90°, ∵∠EAD=∠FAO, ∴△EAD∽△FAO, ∴=,又AE=8,OA=5,AF=AD, ∴=, 解得:DA=4, 在Rt△ADE中,AE=8,AD=4, 根据勾股定理得:DE==4.
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考点分析:
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试题属性
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