Question

如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m．
（1）求∠CAE的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：=1.4，=1.7，=2.4）．

Answer

本题可通过作辅助线构造直角三角形来解决问题，
（1）如果延长BA交EF于点G，那么BG⊥EF，∠CAE=180°-∠BAC-∠EAG，∠BAC的度数以及确定，只要求出∠GAE即可．直角三角形GAE中∠E的度数已知，那么∠EAG的度数就能求出来了，∠CAE便可求出．
（2）求树折断前的高度，就是求AC和CD的长，如果过点A作AH⊥CD，垂足为H．有∠CDA=60°，通过构筑的直角三角形AHD和ACH便可求出AD、CD的值．
【解析】
（1）延长BA交EF于点G．
在Rt△AGE中，∠E=23°，
∴∠GAE=67°．
又∵∠BAC=38°，
∴∠CAE=180°-67°-38°=75°．

（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H．
在△ADH中，∠ADC=60°，AD=4，cos∠ADC=，∴DH=2．
sin∠ADC=，∴AH=2．
在Rt△ACH中，∠C=180°-75°-60°=45°，
∴AC=2，CH=AH=2．
∴AB=AC+CD=2+2+2≈10（米）．
答：这棵大树折断前高约10米．