Question

如图，已知二次函数y=x²-2x-1的图象的顶点为A．二次函数y=ax²+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y=x²-2x-1的图象的对称轴上．
（1）求点A与点C的坐标；
（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y=ax²+bx的关系式．

Answer

（1）二次函数y=ax2+bx的顶点在已知二次函数抛物线的对称轴上，可知两个函数对称轴相等，因此先根据已知函数求出对称轴． y=x2-2x-1=（x-1）2-2，所以顶点A的坐标为（1，-2）对称轴为x=1，
所以二次函数y=ax2+bx关于x=1对称，且函数与x轴的交点分别是原点和C点，
所以点C和点O关于直线l对称，所以点C的坐标为（2，0）；
（2）因为四边形AOBC是菱形，根据菱形性质，可以得出点O和点C关于直线AB对称，点B和点A关于直线OC对称，因此，可求出点B的坐标，点B的坐标为（1，2），
二次函数y=ax2+bx的图象经过点B（1，2），C（2，0），将B，C代入解析式，可得，，
解得，所以二次函数y=ax2+bx的关系式为y=-2x2+4x．
【解析】
（1）∵y=x2-2x-1=（x-1）2-2，
∴顶点A的坐标为（1，-2）．
∵二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上．
∴二次函数y=ax2+bx的对称轴为：直线x=1，
∴点C和点O关于直线x=1对称，
∴点C的坐标为（2，0）．

（2）因为四边形AOBC是菱形，所以点B和点A关于直线OC对称，
因此，点B的坐标为（1，2）．
因为二次函数y=ax2+bx的图象经过点B（1，2），C（2，0），
所以，
解得，
所以二次函数y=ax2+bx的关系式为y=-2x2+4x．