Question

如图1，已知O是锐角∠XAY的边AX上的动点，以点O为圆心、R为半径的圆与射线AY切于点B，交射线OX于点C，连接BC，作CD⊥BC，交AY于点D．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若P是AY上一点，AP=4，且sinA=，
①如图2，当点D与点P重合时，求R的值；
②当点D与点P不重合时，试求PD的长（用R表示）．

Answer

（1）根据切线的性质得到∠ABO=90°，易证∠ABC=∠ACD，从而根据两个角对应相等得到两个三角形相似；
（2）根据（1）中的相似三角形得到对应边的比相等，再结合锐角三角函数的概念，把AD用R表示，①根据AD=AP求得R的值；②应分两种情况讨论，点D可能在点P的左侧或右侧．
（1）证明：由已知，CD⊥BC，
∴∠ADC=90°-∠CBD．
又∵⊙O切AY于点B，
∴OB⊥AB．
∴∠OBC=90°-∠CBD．
∴∠ADC=∠OBC．
又在⊙O中，OB=OC=R，
∴∠OBC=∠ACB．
∴∠ACB=∠ADC．
又∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD．

（2）【解析】
由已知，sinA=，
又OB=OC=R，OB⊥AB，
∴在Rt△AOB中，AO==R，AB==R．
∴AC=R+R=R．
由（1）已证，△ABC∽△ACD，
∴．
∴．
因此AD=R．
①当点D与点P重合时，AD=AP=4，
∴R=4．
∴R=．
②当点D与点P不重合时，有以下两种可能：
（i）若点D在线段AP上（即0＜R＜），PD=AP-AD=4-R，
（ii）若点D在射线PY上（即R＞），PD=AD-AP=R-4，
综上，当点D在线段AP上（即0＜R＜）时，PD=4-R，
当点D在射线PY上（即R＞）时，PD=R-4，
又当点D与点P重合（即R=）时，PD=0，故在题设条件下，总有PD=|R-4|（R＞0）．