Question

综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

Answer

（1）根据抛物线的解析式可得出A、B、C、D的坐标，设AC解析式为y=k1x+b1（k1≠0），利用待定系数法求解即可．
（2）先根据题意结合图形，画出点P和点Q的位置，然后利用平行线的性质，及抛物线上点的坐标特点可求出三个Q的坐标．
（3）因为BD的长固定，要使△BDM的周长最小，只需满足BM+DM的值最小即可，作点B关于AC的对称点B'，连接B'D，则与AC交点即是点M的位置，然后利用相似三角形的性质求出B'的坐标，得出B'D的解析式，继而联立AC与B'D的解析式可得出点M的坐标．
【解析】
（1）当y=0时，-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3．
∵点A在点B的左侧，
∴A、B的坐标分别为（-1，0），（3，0）．
当x=0时，y=3．
∴C点的坐标为（0，3）
设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），
则，
解得，
∴直线AC的解析式为y=3x+3．
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）． 

（2）抛物线上有三个这样的点Q，

①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；
②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为-3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，-3）；
③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为-3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1-，-3）；
综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，-3），Q3（1-，-3）． 

（3）过点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC于点M，则点M为所求，
过点B′作B′E⊥x轴于点E．
∵∠1和∠2都是∠3的余角，
∴∠1=∠2．
∴Rt△AOC∽Rt△AFB，
∴，
由A（-1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，
∴AC=，AB=4．
∴，
∴BF=，
∴BB′=2BF=，
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，
∴，
∴，即．
∴B′E=，BE=，
∴OE=BE-OB=-3=．
∴B′点的坐标为（-，）．
设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）．
∴，
解得，
∴直线B'D的解析式为：y=x+，
联立B'D与AC的直线解析式可得：，
解得，
∴M点的坐标为（，）．