Question

如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，过直角顶点C作CA₁⊥AB，垂足为A₁，再过A₁作A₁C₁⊥BC，垂足为C₁，过C₁作C₁A₂⊥AB，垂足为A₂，再过A₂作A₂C₂⊥BC，垂足为C₂，…，这样一直作下去，得到了一组线段CA₁，A₁C₁，C₁A₂，A₂C₂，…，A_nC_n，则A₁C₁=    ，A_nC_n=    ．

Answer

首先由Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，利用勾股定理即可求得AB的长，易证得△CA1B∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得A1C的值，同理可求得：A1C1，A2C1，A2C2的值，则可得规律：AnCn=6×（）2n．
【解析】
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
∵CA1⊥AB，
∴∠CA1B=∠ACB=90°，
∵∠B是公共角，
∴△CA1B∽△ACB，
∴，
即，
即A1C=AC=6×，
同理可得：A1C1=A1C=6×（）2=6×（）2×1，
A2C1=A1C1=6×（）3，
A2C2=A2C1=6×（）4=6×（）2×2，
可得规律为：AnCn=6×（）2n．
故答案为：6×（）2，6×（）2n．