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如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=DC,连接AC,...

如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=DC,连接AC,过点D作DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,若AE=AC.
(1)求∠EAC的度数;
(2)若AD=2,求AB的长.

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(1)连接EC,根据等腰三角形三线合一的性质可得点F是AC的中点,所以DE垂直平分AC,从而得到AE=EC,进而判定出△AEC是等边三角形,再根据等边三角形的性质即可求解; (2)先求出∠AEF=30°,然后利用解直角三角形求出AE的长度,再根据等边三角形的性质可得AB=AE,代入数据计算即可得解. 【解析】 (1)连接EC, ∵AD=DC,DE⊥AC于点F, ∴点F是AC中点, ∴DE垂直平分AC, ∴EC=EA, 又∵AE=AC, ∴AE=EC=AC, ∴△AEC是等边三角形, ∴∠EAC=60°; (2)∵DE⊥AC于点F, ∴∠AFE=90°, ∵∠EAC=60°, ∴∠AEF=30°, ∵AD∥BC, ∴∠BAD=∠ABC=90°, ∵AD=2, ∴AE=2cot30°=2, ∵∠ABC=90°, ∴CB⊥AE, 又∵△AEC是等边三角形, ∴AB=AE=.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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