Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax²+bx-3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，直接写出m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）已知直线AB的解析式，首先能确定A、B点的坐标，然后利用待定系数法确定a、b的值；若设直线AB与y轴的交点为E，E点坐标易知，在Rt△AEO中，能求出sin∠AEO，而∠AEO=∠ACP，则∠ACP的正弦值可得．
（2）①已知P点横坐标，根据直线AB、抛物线的解析式，求出C、P的坐标，由此得到线段PC的长；在Rt△PCD中，根据（1）中∠ACP的正弦值，即可求出PD的表达式，再根据所得函数的性质求出PD长的最大值．
②在表达△PCD、△PBC的面积时，若都以PC为底，那么它们的面积比等于PC边上的高的比．分别过B、D作PC的垂线，首先求出这两条垂线段的表达式，然后根据题干给出的面积比例关系求出m的值．
【解析】
（1）由x+1=0，得x=-2，∴A（-2，0）．
由x+1=3，得x=4，∴B（4，3）．
∵y=ax2+bx-3经过A、B两点，
∴
∴，
则抛物线的解析式为：y=x2-x-3，
设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）．
∵PC∥y轴，
∴∠ACP=∠AEO．
∴sin∠ACP=sin∠AEO===．

（2）①由（1）知，抛物线的解析式为y=x2-x-3．则点P（m，m2-m-3）．
已知直线AB：y=x+1，则点C（m，m+1）．
∴PC=m+1-（m2-m-3）=-m2+m+4=-（m-1）2+
Rt△PCD中，PD=PC•sin∠ACP=[-（m-1）2+]•=-（m-1）2+
∴PD长的最大值为：．

②如图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G．
∵sin∠ACP=，
∴cos∠ACP=，
又∵∠FDP=∠ACP
∴cos∠FDP==，
在Rt△PDF中，DF=PD=-（m2-2m-8）．
又∵BG=4-m，
∴===．
当==时，解得m=；
当==时，解得m=．