Question

已知：如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E．求四边形ABDE的面积；
（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由．
（注：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为）

Answer

（1）由于抛物线的解析式中只有两个未知数，因此可根据A，B两点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）由于四边形ABDE不是规则的四边形，因此可将ABDE分割成几个规则的图形后再进行求解．可设抛物线的对称轴与x轴的交点为F，那么四边形ABDE的面积=三角形AOB的面积+直角梯形BOFD的面积+三角形DFE的面积，根据抛物线的解析式可求得D、E两点的坐标，因此就可求出DF、OF、EF的长，根据A、B两点的坐标可得出OA、OB的长，那么求这些图形面积的相关线段的长就都已求出，进而可得出四边形ABDE的面积．
（3）可先根据B、D、E的坐标，求出BD、DE、BE的长，由于三角形AOB是直角三角形，要想判定两三角形是否相似，就要先判断三角形BDE是否为直角三角形，可根据BD、DE、BE三边的长以及勾股定理，来判断出三角形BDE是否为直角三角形，如果是直角三角形，那么找出三角形BDE中的直角，然后看夹直角的两组对应边是否成比例即可得出两三角形是否相似．
【解析】
（1）由已知得：
解得c=3，b=2
∴抛物线的线的解析式为y=-x2+2x+3．

（2）由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）
所以对称轴为x=1，A，E关于x=1对称，
所以E（3，0）
设对称轴与x轴的交点为F
所以四边形ABDE的面积=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE=AO•BO+（BO+DF）•OF+EF•DF
=×1×3+（3+4）×1+×2×4
=9

（3）相似．如图，连接AB、BD、DE，过点D作DF⊥x轴于点F，过点B作BG⊥DF于点G．
BD=
BE=
DE=
所以DE2=20，即：BD2+BE2=DE2，
所以△BDE是直角三角形，所以∠AOB=∠DBE=90°，且，
所以△AOB∽△DEB．