Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点A、B，与反比例函数在第一象限内的图象交于点C，CD⊥x轴于点D，OD=3，点A为OD的中点，tan∠OBD=．
（1）求直线AB和该反比例函数的解析式；
（2）求四边形OBDC的面积．

Answer

（1）先由OD=3，A为OD的中点求出A点坐标，再根据tan∠OBD=得出B点坐标．利用待定系数法可求出直线AB的解析式；再由全等三角形的判定定理得出△OAB≌△DAC，故可得出OB=CD，由此可得出C点坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式；
（2）根据S四边形OBDC=S△OBD+S△ODC进行计算即可．
【解析】
（1）∵OD=3，A为OD的中点，
∴A（，0），
∵tan∠OBD=，
∴=，即=，解得OB=2，
∵点B在y轴的负半轴上，
∴B（0，-2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（，0），B（0，-2），
∴，解得，
故直线AB的解析式为：y=x-2；
∵A为OD的中点，
∴OA=AD，
∵CD⊥x轴，
∴∠BOA=∠CDA=90°，
在△OAB与△DAC中，
∵，
∴△OAB≌△DAC，
∴CD=OB=2，
∴C（3，2），
设该反比例函数的解析式为y=，则2=，解得k=6，
∴该反比例函数的解析式为：y=；

（2）∵OD=3，CD=OB=2，
∴S四边形OBDC=S△OBD+S△ODC
=OD•OB+OD•CD
=×3×2+×3×2
=6．