Question

如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．
求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；
（2）PA=PQ．

Answer

（1）∠根据矩形的性质及等边三角形的性质可证明得到∠PBA=∠PCQ=30°．
（2）由第一步求得∠PBA=∠PCQ．由等边三角形的性质及矩形的性质得到AB=CQ，PB=PC，利用SAS判定△PAB≌△PQC，从而得到PA=PQ．
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形．
∴∠ABC=∠BCD=90°．（1分）
∵△PBC和△QCD是等边三角形．
∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°．（1分）
∴∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°，（1分）
∠PCD=∠BCD-∠PCB=30°．
∴∠PCQ=∠QCD-∠PCD=30°．
∴∠PBA=∠PCQ=30°．（1分）

（2）∵AB=DC=QC，∠PBA=∠PCQ，PB=PC．（1分）
∴△PAB≌△PQC．（2分）
∴PA=PQ．（1分）