Question

如图，已知矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，如果点P由C出发沿CA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t．（单位：s）．（0≤t≤4）解答下列问题：
（1）求AC的长；
（2）当t为何值时，PQ∥BC；
（3）设△AQP的面积为S（单位：cm²），当t为何值时，s=cm²；
（4）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据勾股定理直接求出AC的长即可；
（2）由PQ∥BC时的比例线段关系，列一元一次方程求解；
（3）如图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，构造比例线段，求得PD，从而可以得到S的表达式，然后利用s=cm2求出即可；
（4）要点是利用（3）中求得的△AQP的面积表达式，再由线段PQ恰好把△ABC的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；
【解析】
（1）∵AB=8cm，BC=6cm，
∴AC==10（cm）；

（2）当PQ∥BC时，
∵CP=2t，则AP=10-2t．
∵PQ∥BC，
∴=，即=，
解得：t=，
∴当t=s时，PQ∥BC．

（3）如图2所示，过P点作PD⊥AC于点D．
∴PD∥BC，
∴=，
即=，
解得：PD=6-t．
S=×AQ×PD=×2t×（6-t）
=-t2+6t=
整理得出：
t2-5t+6=0，
（t-2）（t-3）=0，
解得：t1=2，t2=3，
故当t为2或3时，s=cm2；

（4）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=AC•BC=24，
∴此时S△AQP=12．
由（2）可知，S△AQP=-t2+6t，
∴-t2+6t=12，化简得：t2-5t+10=0，
∵△=（-5）2-4×1×10=-15＜0，此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．