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如图1,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC...

如图1,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点G.
①求证:BD⊥CF;
②当AB=4,AD=manfen5.com 满分网时,求线段BG的长.
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(1)△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,易证得△BAD≌△CAF,根据全等三角形的对应边相等,即可证得BD=CF; (2)①由△BAD≌△CAF,可得∠ABM=∠GCM,又由对顶角相等,易证得△BMA∽△CMG,根据相似三角形的对应角相等,可得BGC=∠BAC=90°,即可证得BD⊥CF; ②首先过点F作FN⊥AC于点N,利用勾股定理即可求得AE,BC的长,继而求得AN,CN的长,又由等角的三角函数值相等,可求得AM=AB=,然后利用△BMA∽△CMG,求得CG的长,再由勾股定理即可求得线段BG的长. 解(1)BD=CF成立. 理由:∵△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形, ∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°, ∵∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAF=∠DAF-∠DAC, ∴∠BAD=∠CAF, 在△BAD和△CAF中, ∴△BAD≌△CAF(SAS). ∴BD=CF.…(3分) (2)①证明:设BG交AC于点M. ∵△BAD≌△CAF(已证), ∴∠ABM=∠GCM. ∵∠BMA=∠CMG, ∴△BMA∽△CMG. ∴∠BGC=∠BAC=90°. ∴BD⊥CF.…(6分) ②过点F作FN⊥AC于点N. ∵在正方形ADEF中,AD=DE=, ∴AE==2, ∴AN=FN=AE=1. ∵在等腰直角△ABC 中,AB=4, ∴CN=AC-AN=3,BC==4. ∴在Rt△FCN中,tan∠FCN==. ∴在Rt△ABM中,tan∠ABM==tan∠FCN=. ∴AM=AB=. ∴CM=AC-AM=4-=,BM==.…(9分) ∵△BMA∽△CMG, ∴. ∴. ∴CG=.…(11分) ∴在Rt△BGC中,BG==.…(12分)
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考点分析:
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证明:

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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