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如图,已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点,且点A(...

如图,已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点,且点A(1,-4)为抛物线的顶点,点B在x轴上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使△POB与△POC全等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点Q是y轴上一点,且△ABQ为直角三角形,求点Q的坐标.

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(1)已知点A坐标可确定直线AB的解析式,进一步能求出点B的坐标.点A是抛物线的顶点,那么可以将抛物线的解析式设为顶点式,再代入点B的坐标,依据待定系数法可解. (2)首先由抛物线的解析式求出点C的坐标,在△POB和△POC中,已知的条件是公共边OP,若OB与OC不相等,那么这两个三角形不能构成全等三角形;若OB等于OC,那么还要满足的条件为:∠POC=∠POB,各自去掉一个直角后容易发现,点P正好在第二象限的角平分线上,联立直线y=-x与抛物线的解析式,直接求交点坐标即可,同时还要注意点P在第二象限的限定条件. (3)分别以A、B、Q为直角顶点,分类进行讨论.找出相关的相似三角形,依据对应线段成比例进行求解即可. 【解析】 (1)把A(1,-4)代入y=kx-6,得k=2, ∴y=2x-6, 令y=0,解得:x=3, ∴B的坐标是(3,0). ∵A为顶点, ∴设抛物线的解析为y=a(x-1)2-4, 把B(3,0)代入得:4a-4=0, 解得a=1, ∴y=(x-1)2-4=x2-2x-3. (2)存在.∵OB=OC=3,OP=OP,∴当∠POB=∠POC时,△POB≌△POC, 此时PO平分第二象限,即PO的解析式为y=-x. 设P(m,-m),则-m=m2-2m-3,解得m=(m=>0,舍), ∴P(,). (3)①如图,当∠Q1AB=90°时,△DAQ1∽△DOB, ∴=,即=,∴DQ1=, ∴OQ1=,即Q1(0,); ②如图,当∠Q2BA=90°时,△BOQ2∽△DOB, ∴=,即=, ∴OQ2=,即Q2(0,); ③如图,当∠AQ3B=90°时,作AE⊥y轴于E, 则△BOQ3∽△Q3EA, ∴=,即=, ∴OQ32-4OQ3+3=0,∴OQ3=1或3, 即Q3(0,-1),Q4(0,-3). 综上,Q点坐标为(0,)或(0,)或(0,-1)或(0,-3).
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考点分析:
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证明:

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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