Question

如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．
（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；
（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；
（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．

Answer

（1）根据折叠的性质判断出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，从而判断出EF=AG，得出四边形AGEF是平行四边形，继而结合AG=GE，可得出结论．
（2）连接ON，则ON⊥BC，从而判断出ON是梯形ABCE的中位线，继而可得出结论．
（3）作OM⊥AD，设DE=x，则MO=x，表示出AE、DE，在RT△ADE中，利用勾股定理可解出x，继而可得出折痕FG的长度．
【解析】
（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，
∵DC∥AB，
∴∠EFG=∠AGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG=AG，
∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG），
又∵AG=GE，
∴四边形AGEF是菱形．

（2）连接ON，

∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，△AED的外接圆与BC相切于点N，
∴ON⊥BC，
∵点O是AE的中点，
∴ON是梯形ABCE的中位线，
∴点N是线段BC的中点．

（3）作OM⊥AD，

设DE=x，则MO=x，
在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，
故AE为△AED的外接圆的直径．
延长MO交BC于点N，则ON∥CD，
∵四边形MNCD是矩形，
∴MN=CD=4，
∴ON=MN-MO=4-x，
∵△AED的外接圆与BC相切，
∴ON是△AED的外接圆的半径，
∴OE=ON=4-x，AE=8-x，
在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，
∴22+x2=（8-x）2，
得x=DE=，OE=4-x=，
∵△FEO∽△AED，
∴=，
解得：FO=，
∴FG=2FO=．
故折痕FG的长是．