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如图,已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点,A点的坐标为(-1...

manfen5.com 满分网如图,已知抛物线y=manfen5.com 满分网x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点,A点的坐标为(-1,0),过点C的直线y=manfen5.com 满分网x-3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,过P作PH⊥OB于点H.若PB=5t,且0<t<1.
(1)填空:点C的坐标是______,b=______,c=______
(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);
(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.
(1)由于直线y=x-3过C点,因此C点的坐标为(0,-3),那么抛物线的解析式中c=-3,然后将A点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出b的值; (2)求QH的长,需知道OQ,OH的长.根据CQ所在直线的解析式即可求出Q的坐标,也就得出了OQ的长,然后求OH的长. 在(1)中可得出抛物线的解析式,那么可求出B的坐标.在直角三角形BPH中,可根据BP=5t以及∠CBO的正弦值(可在直角三角形COB中求出).得出BH的长,根据OB的长即可求出OH的长.然后OH,OQ的差的绝对值就是QH的长; (3)本题要分①当H在Q、B之间.②在H在O,Q之间两种情况进行讨论;根据不同的对应角得出的不同的对应成比例线段来求出t的值. 【解析】 (1)(0,-3),b=-,c=-3; (2)由(1),得y=x2-x-3,它与x轴交于A,B两点,得B(4,0). ∴OB=4, 又∵OC=3, ∴BC=5. 由题意,得△BHP∽△BOC, ∵OC:OB:BC=3:4:5, ∴HP:HB:BP=3:4:5, ∵PB=5t,∴HB=4t,HP=3t. ∴OH=OB-HB=4-4t. 由y=x-3与x轴交于点Q,得Q(4t,0). ∴OQ=4t. ①当H在Q、B之间时,QH=OH-OQ=(4-4t)-4t=4-8t. ②当H在O、Q之间时,QH=OQ-OH=4t-(4-4t)=8t-4. 综合①,②得QH=|4-8t|; (3)存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似. ①当H在Q、B之间时,QH=4-8t, 若△QHP∽△COQ,则QH:CO=HP:OQ,得=, ∴t=. 若△PHQ∽△COQ,则PH:CO=HQ:OQ,得=, 即t2+2t-1=0. ∴t1=-1,t2=--1(舍去). ②当H在O、Q之间时,QH=8t-4. 若△QHP∽△COQ,则QH:CO=HP:OQ,得=, ∴t=. 若△PHQ∽△COQ,则PH:CO=HQ:OQ,得=, 即t2-2t+1=0. ∴t1=t2=1(舍去). 综上所述,存在t的值,t1=-1,t2=,t3=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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