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已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF,如图(1)放置,点B、D重合,点F在...

已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF,如图(1)放置,点B、D重合,点F在BC上,AB与EF交于点G、∠C=∠EFB=90°,∠E=∠ABC=30°,AB=DE=4.
(1)求证:△EGB是等腰三角形;
(2)若纸片DEF不动,问△ABC绕点F逆时针旋转最小______度时,四边形ACDE成为以ED为底的梯形(如图(2)).求此梯形的高.
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(1)根据题意,即可发现∠EBG=∠E=30°,从而证明结论; (2)要使四边形ACDE成为以ED为底的梯形,则需BC⊥DE,即可求得∠BFD=30°.再根据30°的直角三角形的性质即可求解. (1)证明:∵∠C=∠EFB=90°,∠E=∠ABC=30°, ∴∠EBF=60°, ∴∠EBG=∠EBF-∠ABC=60°-30°=∠E. ∴GE=GB, 则△EGB是等腰三角形; (2)【解析】 要使四边形ACDE成为以ED为底的梯形, 则需BC⊥DE,即可求得∠BFD=30°. 设BC与DE的交点是H. 在直角三角形DFE中,∠FDH=60°,DF=DE=2, 在直角三角形DFH中,FH=DF•cos∠BFD=2×cos30°=2×=. 则CH=BC-BH=AB•cos∠ABC-(BF-FH)=2-(2-)=3-2. 即此梯形的高是3-2. 故答案为:3-2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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