Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，过点M作MP⊥MQ交AB于点P，交NC于点Q，试求BP²，PQ²，CQ²三者之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer

作辅助线延长QM至点D，使MD=MQ．连接PD、BD构建平行四边形BDCQ．根据平行四边形的对边平行且相等推知BD∥CQ，BD=CQ；然后在直角三角形BPD中利用勾股定理求得PD2=BP2+BD2=BP2+CQ2；最后利用线段垂直平分线的性质知PQ=PD，所以由等量代换证得该结论．
【解析】
PQ2=BP2+CQ2．
证明：延长QM至点D，使MD=MQ，连接PD、BD，BQ，CD，

∵BC、DQ互相平分，
∴四边形BDCQ为平行四边形，
∴BD∥CQ，BD=CQ（平行四边形的对边平行且相等）；
又∵∠BAC=90°，
∴∠PBD=90°，
∴PD2=BP2+BD2=BP2+CQ2，
∵PM垂直平分DQ，
∴PQ=PD，
∴PQ2=BP2+CQ2．