Question

有一种螃蟹，从海里捕获后不放养最多只能存活两天，如果在池塘里放养，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的螃蟹死去，假设放养期内螃蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活螃蟹1000千克放养在池塘内，此时市场价为每千克30元．据推测，此后每千克活螃蟹的市场价在前5天内不发生变化，从第6天开始每天涨价1元，放养30后，每天涨价2元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且每天还有10千克螃蟹死去，假设死螃蟹当天全部出售，售价都是每千克20元．
（1）写出市场价P（元）与放养时间X（天）之间的函数关系；
（2）如果放养X天后将活螃蟹一次性出售，并记1000千克螃蟹的销售总额Q（元），请求出Q（元）与放养时间X（天）之间的函数关系；
（3）该经销商将这批螃蟹放养多少天后出售，可获得最大利润？并求出最大利润．

Answer

（1）分三段讨论，①1≤X≤5，②5＜X≤30，③X＞30，分别求出P与X的函数关系式；
（2）由（1）的函数关系式，根据Q=（售价-进价）×剩余螃蟹量，即可得出Q（元）与放养时间X（天）之间的函数关系；
（3）根据（2）的结论，分别确定每一个时间段的最大利润，比较即可得出答案．
【解析】
（1）①当1≤X≤5时，P=30；
②5＜X≤30时，P=30+（X-5）=25+X；
③当X＞30时，P=30+25+2（X-30）=2X-5；
综上可得P=；

（2）当1≤X≤5时，Q=30（1000-10X）+20×10X=30000-100X；
②5＜X≤30时，P=30+（X-5）=25+X；剩余螃蟹量为1000-10X，
则Q=（25+X）（1000-10X）+20×10X=-10X2+950X+25000；
③当X＞30时，P=30+25+2（X-30）=2X-5，剩余螃蟹量为1000-10X，
则Q=（2X-5）（1000-10X）+20×10X=-20X2+2250X-5000
综上可得Q=．

（3）①当1≤X≤5时，w=Q-400X=30000-500X，
当X=1时，销售额最大，最大为29500元；
②5＜X≤30时，w=Q-400X=-10X2+550X+25000=-10（X-）2+32562.5，
当x=27或28时，Q取得最大，最大为32560元；
③当X＞30时，w=Q-400X=-20X2+1850X-5000=-20（X-）2+37781.25，
当X=46时，Q取得最大，最大为37780元．
综上可得当x=46时，可获得最大利润，最大利润为37780元．
答：该经销商将这批螃蟹放养46天后出售，可获得最大利润，最大利润为37780元．