Question

已知：如图，直线y=-x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）请判断△OPA的形状并说明理由；
（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O、P、A的路线向点A匀速运动（E不与点O，A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B，设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．
求：①S与t之间的函数关系式．②当t为何值时，S最大，并求出S的最大值．

Answer

（1）由两直线相交可列出方程组，求出P点坐标；
（2）将y=0代入y=-x+4，可求出OA=4，作PD⊥OA于D，则OD=2，PD=2，利用tan∠POA=，可知∠POA=60°，由OP=4．可知△POA是等边三角形；
（3）①当0＜t≤4时，在Rt△EOF中，∠EOF=60°，OE=t，则EF=，OF=，则S=•OF•EF=t2；
②当4＜t＜8时，如图，设EB与OP相交于点C，易知：CE=PE=t-4，AE=8-t，可得AF=4-，EF=（8-t），有OF=OA-AF=4-（4-）=，S=（CE+OF）•EF=-t2+4t-8．
【解析】
（1）由题意可得：，
解得，
所以点P的坐标为（2，2）；

（2）将y=0代入y=-x+4，-x+4=0，
∴x=4，即OA=4，
作PD⊥OA于D，则OD=2，PD=2，
∵tan∠POA==，
∴∠POA=60°，
∵OP==4，
∴△POA是等边三角形；

（3）①当0＜t≤4时，如图，在Rt△EOF中，
∵∠EOF=60°，OE=t，
∴EF=，OF=，
∴S=•OF•EF=t2．
当4＜t＜8时，如图，设EB与OP相交于点C，
∵CE=PE=t-4，AE=8-t，
∴AF=4-，EF=（8-t），
∴OF=OA-AF=4-（4-）=，
∴S=（CE+OF）•EF=（t-4+t）×（8-t），
=-t2+4t-8；
②当0＜t≤4时，S=，t=4时，S最大=2；
当4＜t＜8时，S=-t2+4t-8=-（t-）2+，
t=时，S最大=．
∵＞2，
∴当t=时，S最大，最大值为．