Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD以每秒5个单位长的速度向点D匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度向点B匀速运动；点P、Q同时出发，当点P与点D重合时停止运动，点Q也随之停止，设点P的运动时间为t秒．
（1）点P到达点A、D的时间分别为______秒和______秒；
（2）当点P在BA边上运动时，过点P作PN∥BC交DC于点N，作PM⊥BC，垂足为M，连接NQ，已知△PBM与△NCQ全等．
①试判断：四边形PMQN是什么样的特殊四边形？答：______；
②若PN=3PM，求t的值；
（3）当点P在AD边上运动时，是否存在PQ=DC？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据AB=50，AD=75点P从点B出发沿折线段BA-AD以每秒5个单位长的速度向点D匀速运动即可直接得出结论；
（2）①先由PM⊥BC可知∠PMQ=90°，再由△PBM≌△NCQ即可得出PM=NQ，∠NQC=∠PMB=90°，故可得出四边形PMQN是矩形；
②依题意可得：BP=5t，CQ=3t，BM=CQ=3t，在Rt△PBM中利用勾股定理即可求出PM的长，再由PN=3PM即可求出t的值；
（3）当点P在AD上（即10≤t≤25）时，存在PQ=DC．有下列两种情况：
①当PQ∥DC时，由于PD∥QC，所以四边形PQCD是平行四边形，根据四边形的对边相等即可得出t的值；
②当PQ∥AB时，由AP∥BQ，可知四边形ABQP是平行四边形，根据四边形的对边相等即可得出t的值．
【解析】
（1）∵AB=50，AD=75点P从点B出发沿折线段BA-AD以每秒5个单位长的速度向点D匀速运动，
∴当点P于点A重合时，t===10；
当点P于点D重合时，t===25．
故答案为：10和25；

（2）①∵PM⊥BC，
∴∠PMQ=90°，
∵△PBM≌△NCQ，
∴PM=NQ，∠NQC=∠PMB=90°，
四边形PMQN是矩形
②依题意可得：BP=5t，CQ=3t，BM=CQ=3t
∴MQ=BC-2CQ=135-6t
∵四边形PMQN是矩形
∴PN=MQ=135-6t
∵PM⊥BC
∴∠PMB=90°
根据勾股定理，得：，
∵PN=3PM，135-6t=3×4t
解得：t=7.5；

（3）当点P在AD上（即10≤t≤25）时，存在PQ=DC．有下列两种情况：
①如图1，当PQ∥DC时，
∵PD∥QC
∴四边形PQCD是平行四边形
∴PQ=DC，PD=QC
此时135-5t=3t
解得：；

②如图2，当PQ∥AB时，
∵AP∥BQ
∴四边形ABQP是平行四边形
∴AP=BQ
即：5t-50=135-3t
解得：．
综上所述，当点P在AD边上运动时，存在PQ=DC，或