Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CK交AB于P，D为上一点，且∠CPD=∠BPD=60°，连OC、OD．
（1）求证：∠OCK=∠ODP；
（2）若PC=4，PO=6，求S_△POD．

Answer

（1）首先根据∠CPD=∠BPD=60°，进而得出∠KPO=60°，再利用角平分线的性质得出EO=OF，再利用HL定理得出Rt△OEC≌Rt△OFD即可得出答案；
（2）首先利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出PE的长，进而得出EC=EK=7，PK=10，再利用全等三角形的判定得出△OPD≌△OPK，即可得出S△POD=S△POK进而求出即可．
（1）证明：如图所示：
作OE⊥CK于E，OF⊥PD于F，
∵∠CPD=∠BPD=60°，
∴∠KPB=180°-60°-60°=60°，
∵OE⊥CK，OF⊥PD，
∴EO=OF，∠OEC=∠OFD=90°，
在Rt△OEC和Rt△OFD中，
∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），
∴∠OCK=∠ODP；

（2）【解析】
如图所示：连接OK，∵∠KPB=60°，∠OEP=90°，
∴∠EOP=30°，
∴PE=PO=×6=3，
EO==3，
∵PC=4，
∴EC=EK=7，PK=10，
∵KO=CO，
∴∠OKC=∠OCK，
∵∠OCK=∠ODP，
∴∠K=∠ODP，
∴∠KOP=∠POD，
在△OPD和△OPK中，
，
∴△OPD≌△OPK，
∴S△POD=S△POK=×EO×PK=×10×3=30．