Question

已知：△ABC中，∠BCA=2∠BAC，将△ABC绕点A逆时针转α角得到△ANM．
（1）如图，当AB⊥MC且AB=MC时，求∠BCA的度数；
（2）若∠BAC=20°，求旋转角α为何值时，可使四边形ACMN为梯形．

Answer

（1）利用旋转的性质得出四边形NMCA为等腰梯形，设∠BAC=x，则∠NAC=3x=∠MCA，得出8x=180°，进而得出∠BCA=2x=45°；
（2）分别根据①当MN∥AC时，②当AN∥CM时，分别求出旋转角α的度数即可．
【解析】
（1）由题意得出：△ABC≌△ANM，
∴AM=AC，∠NMA=∠ACB，
又∵AB⊥MC，
∴∠MAB=∠CAB，
∴∠MAC=2∠BAC，
∴∠NMA=∠MAC，
∴MN∥AC，
又∵AN=AB=MC，
∴四边形NMCA为等腰梯形，
∴∠MCA=∠NAC，设∠BAC=x，
则∠NAC=3x=∠MCA，
又∵AM=AC，
∴∠AMC=∠ACM=3x，
∵∠AMN=2x，∴8x=180°，
∴x=22.5°，
∴∠BCA=2x=45°；

（2）①当MN∥AC时，∠MAC=∠AMN=2∠BAC，
又∵∠BAC=20°，
∴∠MAC=40°，即α=40°，
②如图所示：当AN∥CM时，∠AMC=∠NAM=20°，
又∵AC=AM，
∴∠ACM=∠AMC=20°，
又∵∠NAC+∠ACM=180°，
∠NAM=20°，∠AMC=20°，∴∠CAM=140°，
即α=140°，
综上所述，当旋转角α为40°或140°时，可使四边形ACMN为梯形．