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如图所示,抛物线y=ax2+c(a>0)经过梯形ABCD的四个顶点,梯形的底AD...

如图所示,抛物线y=ax2+c(a>0)经过梯形ABCD的四个顶点,梯形的底AD在x轴上,其中A(-2,0),B(-1,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M为y轴上任意一点,当点M到A,B两点的距离之和为最小时,求此时点M的坐标;
(3)在第(2)问的结论下,抛物线上的点P使S△PAD=4S△ABM成立,求点P的坐标.

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(1)将A、B点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出待定系数的值; (2)由于A、D关于抛物线对称轴即y轴对称,那么连接BD,BD与y轴的交点即为所求的M点,可先求出直线BD的解析式,即可得到M点的坐标; (3)设直线BC与y轴的交点为N,那么△ABM的面积即为梯形ABNO、△BMN、△AOM的面积差,由此可求出△ABM和△PAD的面积;在△PAD中,AD的长为定值,可根据其面积求出P点纵坐标的绝对值,然后代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标. 【解析】 (1)由题意可得:, 解得; ∴抛物线的解析式为:y=x2-4; (2)由于A、D关于抛物线的对称轴(即y轴)对称,连接BD. 则BD与y轴的交点即为M点; 设直线BD的解析式为:y=kx+b(k≠0),则有: , 解得; ∴直线BD的解析式为y=x-2,点M(0,-2); (3)设BC与y轴的交点为N,则有N(0,-3); ∴MN=1,BN=1,ON=3; S△ABM=S梯形AONB-S△BMN-S△AOM=(1+2)×3-×2×2-×1×1=2; ∴S△PAD=4S△ABM=8; 由于S△PAD=AD•|yP|=8, 即|yP|=4; 当P点纵坐标为4时,x2-4=4, 解得x=±2, ∴P1(-2,4),P2(2,4); 当P点纵坐标为-4时,x2-4=-4, 解得x=0, ∴P3(0,-4); 故存在符合条件的P点,且P点坐标为:P1(-2,4),P2(2,4),P3(0,-4).
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考点分析:
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若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的两个根,则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系:x1+x2=-manfen5.com 满分网,x1•x2=manfen5.com 满分网.把它称为一元二次方程根与系数关系定理.如果设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0).利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为:AB=|x1-x2|=manfen5.com 满分网=manfen5.com 满分网=manfen5.com 满分网=manfen5.com 满分网
参考以上定理和结论,解答下列问题:
设二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的两个交点A(x1,0),B(x2,0),抛物线的顶点为C,显然△ABC为等腰三角形.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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