Question

如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

Answer

（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．
（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．
（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．
【解析】
（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：
0=16a-×4-2，即：a=；
∴抛物线的解析式为：y=x2-x-2．

（2）由（1）的函数解析式可求得：A（-1，0）、C（0，-2）；
∴OA=1，OC=2，OB=4，
即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；
所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．

（3）已求得：B（4，0）、C（0，-2），可得直线BC的解析式为：y=x-2；
设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：
x+b=x2-x-2，即：x2-2x-2-b=0，且△=0；
∴4-4×（-2-b）=0，即b=-4；
∴直线l：y=x-4．
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：
，
解得：
即 M（2，-3）．
过M点作MN⊥x轴于N，
S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB-S△OCB=×2×（2+3）+×2×3-×2×4=4．