Question

如图，四边形AOBC是菱形，点B的坐标为（4，0），∠AOB=60°．点P从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿AC向点C移动，同时，点Q从点O开始以每秒a（1≤a＜3）个单位长度的速度沿射线OB向右移动．设t（0＜t≤4）秒后，PQ交OC于点R．
（1）当a=2，OR=8（时，求t的值及经过P、Q两点的直线的解析式；
（2）当a为何值时，以O、Q、R为顶点的三角形和以O、B、C为顶点的三角形能够相似？当a为何值时，以O、Q、R为顶点的三角形和以O、B、C为顶点的三角形不能够相似？请给出结论，并加以证明．

Answer

（1）作CD⊥x轴于D，菱形的性质得△OQR∽△CPR，得出比例式，求出t的值及此时经过P、Q两点的直线解析式；
（2）根据相似三角形的性质得当a=1时，△ORQ∽△OBC，当1＜a＜3时，以O、Q、R为顶点的三角形和以O、B、C为顶点的三角形不能够相似．
【解析】
（1）作CD⊥x轴于D，
∵点B的坐标为（4，0），
∴OB=4，
∵∠AOB=60°，
∴∠COD=30°，
∴CD=2，OC=2CD=4，
当时间是t秒时，PC=4-t，OQ=2t，
RC=OC-OR=4-8（2-3）=12（2-），
∵PC∥OQ，
∴△PCR∽△QOR，
∴，
∴，
∴解得：t=2（-1），
∴P点的坐标是（2，2），Q（4（-1），0），
设直线PQ的解析式为y=kx+b，
把P、Q两点的坐标代入得：
解得：，
故经过P、Q两点的直线的解析式是y=（3+2）x-4（3+）；

（2）Ⅰ、当a=1时，以O、Q、R为顶点的三角形和以O、B、C为顶点的三角形能够相似，
理由如下：
∵AP=OQ，AP∥OQ，
∴四边形AOQP是平行四边形，
∴PQ∥OA∥BC，
∴当0＜t≤4时，无论t取何值，总有△OQR∽△OBC，
Ⅱ、当1＜a＜3时，以O、Q、R为顶点的三角形和以O、B、C为顶点的三角形不能够相似，
理由如下：当1＜a＜3时，显然PQ和BC不能平行，
如果以O、Q、R为顶点的三角形和以O、B、C为顶点的三角形相似那么∠ORQ=∠OBC，
又∵△BOC是等腰三角形，
∴△ROQ是等腰三角形，且OR=QR，
∴OR==，
同理，在等腰三角形RPC中，RC=，
∵OR+RC=OC，
∴+=4-，
解得：t=，
∵1＜a＜3，
∴0＜a-1＜2，
∴t=＞4，
由于已知t≤4，
∴当1＜a＜3时，以O、Q、R为顶点的三角形和以O、B、C为顶点的三角形不能够相似．