Question

已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．
求证：（1）方程x²+px+q=0有两个不相等的实数根；
（2）设方程x²+px+q=0的两个实数根是x₁，x₂，若|x₁|＜|x₂|，则．

Answer

（1）由于一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式的意义得到（-2p）2-4×5×5q=0，则6p2-25q=0，即p2=q，且q＞0，再计算方程x2+px+q=0的△=p2-4q=q-4q=q，由q＞0得到△＞0，可判断方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根；
（2）由6p2-25q=0得q=，代入方程x2+px+q=0整理得到25x2+25px+6p2=0，即（5x+3p）（5x+2p）=0，由于|x1|＜|x2|，则x1=-，x2=-，即可得到两根的比值．
证明：（1）∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴（-2p）2-4×5×5q=0，
整理得6p2-25q=0，即p2=q，且q＞0，
∴对于方程x2+px+q=0，△=p2-4q=q-4q=q，
∵q＞0，
∴△＞0，
∴方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根；

（2）∵6p2-25q=0，
∴q=，
∴x2+px+=0，即25x2+25px+6p2=0，
∴（5x+3p）（5x+2p）=0，
∵|x1|＜|x2|，
∴x1=-，x2=-，
∴=．