Question

如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点，连AD并延长交⊙O于E，已知：BE²=DE•EA．求证：
（1）PA=PD．
（2）2BP²=AD•DE．

Answer

（1）连接AB，根据已知证△DEB∽△BEA，推出∠DBE=∠EAB，根据切线得出∠PAB=∠E，推出∠PAD=∠PDA即可；
（2）根据切割线定理和相交弦定理得出PA2=PB×PC=PD2，AD×DE=BD×DC，推出PB=BD=PD=DC，即可得出答案．
证明：（1）
连接AB，
∵BE2=DE•EA，
∴=，
∵∠E=∠E，
∴△DEB∽△BEA，
∴∠DBE=∠EAB，
∵PA切⊙O于A，
∴∠PAB=∠E，
∴∠PAB+∠BAE=∠E+∠DBE，
即∠PAD=∠ADP，
∴PA=PD；

（2）证明：∵PA=PD，PA是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线，
∴由切割弦定理得：PA2=PB×PC=PD2，
∵D为PC中点，
∴PD=DC，
∴PD2=PB×2PD，
∴PD=2PB，DC=PD=2PB，
∵PD=PB+BD，
∴BD=PB，
由相交弦定理得：AD×DE=BD×DC，
∴AD×DE=PB×2PB，
即2PB2=AD×DE．