Question

已知：▱ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．
（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；
（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．

Answer

（1）先判定四边形AFGC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等的性质知AC=FG；然后由被平行线所截的线段对应成比例（==）求出PE与PG的数量关系，解答到此，来证明AC=PE+PF的问题就迎刃而解了．
（2）推理类同于（1）．
证明：（1）延长FP交DC于点G，
∵AB∥CD，AC∥FG，
∴四边形AFGC是平行四边形，
∴AC=FG（平行四边形的对边相等），
∵EG∥AC，
∴==（被平行线所截的线段对应成比例）；
又∵OA=OC，
∴PE=PG，
∴AC=FG=PF+PG=PE+PF；

（2）若点P在BD延长线上，AC=PF-PE．如下图所示

若点P在DB延长线上，AC=PE-PF．如下图所示．
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