Question

AB为⊙O直径，BC为切线，CO平行于弦AD，OA=r．
①求证：DC为⊙O切线；
②求AD•OC；
③若AD+OC=r，求CD长．

Answer

①连接OD，要证明DC是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°即可．根据题意，可证△OCD≌△OCB，即可得∠CDO=∠CBO=90°，由此可证DC是⊙O的切线；
②连接BD，OD．先根据两角对应相等的两三角形相似证明△ADB∽△ODC，再根据相似三角形对应边成比例即可得到AD•OC的值；
③先解方程组，求出OC的长，然后在Rt△ODC中，利用勾股定理即可得到CD的长．
①证明：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵AD∥OC，
∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD，
∴∠BOC=∠COD．
∵在△OBC与△ODC中，
，
∴△OBC≌△ODC（SAS），
∴∠OBC=∠ODC，
又∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴DC是⊙O的切线；

②【解析】
连接BD，OD．
∵在△ADB与△ODC中，
，
∴△ADB∽△ODC，
∴AD：OD=AB：OC，
∴AD•OC=OD•AB=r•2r=2r2；

（3）【解析】
由（2）得AD•OC=2r2，与AD+OC=r联立，
解得AD=4r，OC=r或AD=r，OC=4r．
∵AD＜OC，
∴AD=r，OC=4r符合题意．
∴CD===r．