Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE：AE=1：5，BE=3，求△ABD的面积．

Answer

由已知条件可以证明△BED∽△BCA，然后根据其对应边成比例可将DE的长求出来，进而可求出AB的长，根据三角形的面积公式可求出结果．
【解析】
在△AED中，∵DE⊥AB于E，
又∵DE：AE=1；5，
∴设DE=x，则AE=5x，
由勾股定理，AD2=AE2+ED2=（5x）2+x2=26x2，
∴AD=x．
在△ADC中，∵∠C=90°，∠ADC=45°，
∴∠DAC=45°．
由勾股定理，AC2+DC2=AD2=26x2，
∴AC=DC=x．
在Rt△BED中，∵ED=x，BE=3，
由勾股定BD2=ED2+BE2=x2+32=x2+9，
∴BD=．
在Rt△BED和Rt△BCA中，
∵∠B是公共角，
∠BED=∠BCA=90°，
∴△BED∽△BCA，而AB=3+5x．
∴．
即．
解关于x的方程3+5x=，
两边平方得：（3+5x）2=13•（x2+9），
化简得：2x2+5x-18=0，
即（x-1）（2x+9）=0，
∴x1=2 x2=-．
∵x=ED＞0，
∴x=ED=2，AE=5x=10．
∴AB=AE+BE=10+3=13．
∴S△ABD=ED•AB=×2×13=13．