满分5 > 初中数学试题 >

如图,△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB上一点,且∠A=2∠DCB.E是B...

如图,△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB上一点,且∠A=2∠DCB.E是BC边上的一点,以EC为直径的⊙O经过点D.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若CD的弦心距为1,BE=EO,求BD的长.

manfen5.com 满分网
(1)连接OD,如图1所示,由OD=OC,根据等边对等角得到一对角相等,再由∠DOB为△COD的外角,利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和,等量代换可得出∠DOB=2∠DCB,又∠A=2∠DCB,可得出∠A=∠DOB,又∠ACB=90°,可得出直角三角形ABC中两锐角互余,等量代换可得出∠B与∠ODB互余,即OD垂直于BD,确定出AB为圆O的切线,得证; (2)法1:过O作OM垂直于CD,根据垂径定理得到M为DC的中点,由BD垂直于OD,得到三角形BDO为直角三角形,再由BE=OE=OD,得到OD等于OB的一半,可得出∠B=30°,进而确定出∠DOB=60°,又OD=OC,利用等边对等角得到一对角相等,再由∠DOB为三角形DOC的外角,利用外角的性质及等量代换可得出∠DCB=30°,在三角形CMO中,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到OC=2OM,由弦心距OM的长求出OC的长,进而确定出OD及OB的长,利用勾股定理即可求出BD的长; 法2:过O作OM垂直于CD,连接ED,由垂径定理得到M为CD的中点,又O为EC的中点,得到OM为三角形EDC的中位线,利用三角形中位线定理得到OM等于ED的一半,由弦心距OM的长求出ED的长,再由BE=OE,得到ED为直角三角形DBO斜边上的中线,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,由DE的长求出OB的长,再由OD及OB的长,利用勾股定理即可求出BD的长. (1)证明:连接OD,如图1所示: ∵OD=OC, ∴∠DCB=∠ODC, 又∠DOB为△COD的外角, ∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB, 又∵∠A=2∠DCB, ∴∠A=∠DOB, ∵∠ACB=90°, ∴∠A+∠B=90°, ∴∠DOB+∠B=90°, ∴∠BDO=90°, ∴OD⊥AB, 又∵D在⊙O上, ∴AB是⊙O的切线; (2)解法一: 过点O作OM⊥CD于点M,如图1, ∵OD=OE=BE=BO,∠BDO=90°, ∴∠B=30°, ∴∠DOB=60°, ∵OD=OC, ∴∠DCB=∠ODC, 又∵∠DOB为△ODC的外角, ∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB, ∴∠DCB=30°, ∵在Rt△OCM中,∠DCB=30°,OM=1, ∴OC=2OM=2, ∴OD=2,BO=BE+OE=2OE=4, ∴在Rt△BDO中,根据勾股定理得:BD=2; 解法二: 过点O作OM⊥CD于点M,连接DE,如图2, ∵OM⊥CD, ∴CM=DM,又O为EC的中点, ∴OM为△DCE的中位线,且OM=1, ∴DE=2OM=2, ∵在Rt△OCM中,∠DCB=30°,OM=1, ∴OC=2OM=2, ∵Rt△BDO中,OE=BE, ∴DE=BO, ∴BO=BE+OE=2OE=4, ∴OD=OE=2, 在Rt△BDO中,根据勾股定理得BD=2.
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
如图,AB表示的是某单位办公楼的高,AE表示从楼顶垂挂下的宣传条幅,其长为30米,CD表示张明同学所处的位置与高度,张明同学测得条幅顶端A的仰角为60°,测得条幅底端E的仰角为30°.求张明同学到办公楼的水平距离(精确到整米数).
(参考数据:manfen5.com 满分网≈1.41,manfen5.com 满分网≈1.73)

manfen5.com 满分网 查看答案
近日从省家电下乡联席办获悉,自2009年2月20日我省家电下乡全面启动以来,最受农户热捧的四种家电是冰箱、彩电、洗衣机和空调,其销售比为5:4:2:1,其中空调已销售了15万台.根据上述销售情况绘制了两个不完整的统计图:
manfen5.com 满分网
请根据以上信息解答问题:
(1)补全条形统计图;
(2)四种家电销售总量为______万台;
(3)扇形统计图中彩电部分所对应的圆心角是______度;
(4)为跟踪调查农户对这四种家电的使用情况,从已销售的家电中随机抽取一台家电,求抽到冰箱的概率.
查看答案
先化简,再求代数式的值.manfen5.com 满分网,其中a=(-1)2012+tan60°.
查看答案
将从1开始的正整数按如图方式排列.
manfen5.com 满分网
字母P,Q,M,N表示数字的位置,则2013这个数应排的位置是    .(填P,Q,M,N) 查看答案
如图有一张简易的活动小餐桌,现测得OA=OB=30cm,OC=OD=50cm,桌面离地面的高度为40mm,则两条桌腿的张角∠COD的度数为    度.
manfen5.com 满分网 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.