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如图所示,P是⊙O外一点,PA是⊙O的切线,A是切点,B是⊙O 上一点,且PA=...

如图所示,P是⊙O外一点,PA是⊙O的切线,A是切点,B是⊙O 上一点,且PA=PB,连接AO、BO、AB,并延长BO与切线PA相交于点Q.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)求证:AQ•PQ=OQ•BQ;
(3)设∠AOQ=α,若manfen5.com 满分网,OQ=15,求AB的长.

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(1)连接OP,与AB交于点C.欲证明PB是⊙O的切线,只需证明∠OBP=90°即可; (2)根据相似三角形的判定定理AA证明△QAO∽△QBP,然后由相似三角形的对应边成比例求得=,即AQ•PQ=OQ•BQ; (3)在Rt△OAQ中根据勾股定理和三角函数的余弦值的定义解得QB=27,利用(1)的结论求得PQ=45,即PA=36,又由勾股定理知OP=12;然后由切线的性质求AB的长. (1)证明:连接OP,与AB交于点C. ∵PA=PB,OA=OB,OP=OP, ∴△OAP≌△OBP(SSS), ∴∠OBP=∠OAP, ∵PA是⊙O的切线,A是切点, ∴∠OAP=90°, ∴∠OBP=90°,即PB是⊙O的切线; (2)证明:∵∠Q=∠Q,∠OAQ=∠QBP=90°, ∴△QAO∽△QBP, ∴=,即AQ•PQ=OQ•BQ; (3)连OP并交AB于点C, 在Rt△OAQ中,∵OQ=15,cosα=, ∴OA=12,AQ=9, ∴QB=27; ∵=, ∴PQ=45,即PA=36, ∴OP=12; ∵∠APO=∠APO,∠PAO=∠PCA=90° ∴△PAC∽△POA, ∴=, ∴PA•OA=OP•AC,即36×12=12•AC, ∴AC=,故AB=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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