Question

杨老师在上四边形时给学生出了这样一个题．如图，若在等腰梯形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点时．提出以下问题：
（1）在不添加其它线段的前提下，图中有哪几对全等三角形？请直接写出结论；
（2）猜想四边形MENF是何种的四边形？并加以说明；
（3）连接MN，当MN与BC有怎样的数量关系时，四边形MENF是正方形？（直接写出关系式，不需要说明理由）

Answer

（1）利用等腰梯形的性质得到AB=CD，∠A=∠D，再由M是AD的中点得到AM=DN，然后根据“SAS”可判断△ABM≌△DCM，则BM=CM，于是得到∠EBN=∠FCN，再利用E、F分别是BM、CM的中点可得到BE=CF，N是BC的中点得到BN=CN，根据“SAS”可判断△BNE≌△CNF；
（2）利用△ABM≌△DCM得到BM=CM，N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，根据中位线定理得到EN=CM，NF=BM，根据线段中点的定义得到ME=BM，MF=CM，则ME=MF=EN=FN，然后根据菱形的判定得到四边形MENF是菱形；
（3）当MN=BC时，则NM=NB=NC，然后根据三角形内角和定理可计算得到∠EMF=90°，而四边形MENF是菱形，然后根据正方形的判定方法得到四边形MENF是正方形．
【解析】
（1）△ABM≌△DCM，△BNE≌△CNF；

（2）四边形MENF是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB=CD，∠A=∠D，
∵M是AD的中点，
∴AM=DN，
∴△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴EN=CM，NF=BM，ME=BM，MF=CM，
∴ME=MF=EN=FN，
∴四边形MENF是菱形；

（3）当MN=BC时，四边形MENF是正方形．