如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=
x
2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=
上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;
(4)在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.
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在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,线段AD是BC边上的中线.
(1)如图(Ⅰ),将△ADC沿直线BC平移,使点D与点C重合,得到△FCE,连接AF.求证:四边形ADEF是等腰梯形;
(2)如图(Ⅱ),在(1)的条件下,再将△FCE绕点C顺时针旋转,设旋转角为α(0°<α<90°)连接AF、DE.
①当AC⊥CF时,求旋转角α的度数;②当α=60°时,请判断四边形ADEF的形状,并给予证明.
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