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如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,4),动点A以每秒1个单位长的速度,...

如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,4),动点A以每秒1个单位长的速度,从点O出发沿x轴的正方向运动,M是线段AC的中点.将线段AM以点A为中心,沿顺时针方向旋转90°,得到线段AB.过点B作x轴的垂线,垂足为E,过点C作y轴的垂线,交直线BE于点D.运动时间为t秒.
(1)当点B与点D重合时,求t的值;
(2)设△BCD的面积为S,当t为何值时,S=manfen5.com 满分网
(3)连接MB,当MB∥OA时,如果抛物线y=ax2-10ax的顶点在△ABM内部(不包括边),求a的取值范围.

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(1)由于∠CAB=90°,易证得Rt△CAO∽Rt△ABE;当B、D重合时,BE的长已知(即OC长),根据AC、AB的比例关系,即可得到AO、BE的比例关系,由此求得t的值. (2)求△BCD的面积时,可以CD为底、BD为高来解,那么表示出BD的长是关键;Rt△CAO∽Rt△ABE,且知道AC、AB的比例关系,即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE的长,进一步得到BD的长,在表达BD长时,应分两种情况考虑:①B在线段DE上,②B在ED的延长线上. (3)首先将抛物线的解析式进行配方,可得到抛物线的顶点坐标,将其横坐标分别代入直线MB、AB的解析式中,可得到抛物线对称轴与这两条直线的交点坐标,根据这两个坐标即可判定出a的取值范围. 【解析】 (1)∵∠CAO+∠BAE=90°,∠ABE+∠BAE=90°, ∴∠CAO=∠ABE. ∴Rt△CAO∽Rt△ABE. ∴=. ∴=. ∴t=8. (2)由Rt△CAO∽Rt△ABE可知:BE=,AE=2. 当0<t<8时,S=CD•BD=(2+t)(4-)=. ∴t1=t2=3. 当t>8时,S=CD•BD=(2+t)(-4)=. ∴t1=3+5,t2=3-5(为负数,舍去). 当t=3或3+5时,S=. (3)过M作MN⊥x轴于N,则MN=CO=2. 当MB∥OA时,BE=MN=2,OA=2BE=4. 抛物线y=ax2-10ax的顶点坐标为(5,-25a). 它的顶点在直线x=5上移动. 直线x=5交MB于点(5,2),交AB于点(5,1). ∴1<-25a<2. ∴-<a<-.
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考点分析:
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∴∠D=∠ABD,
∵∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D,∠CAB=90°
∴∠D=45°,∵∠ABC=45°,
∴∠D=∠ABC,又∠C=∠C
∴△ABC∽△BCD
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∴a2-b2=bc
根据上述材料提供的信息,请你完成下列情形的证明(用不同于材料中的方法也可以):
已知:如图1,在△ABC中,∠A=2∠B.
求证:a2-b2=bc.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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