Question

如图，已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．
（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），则：
a（0+1）（0-3）=3，a=-1；
∴抛物线的解析式：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3．

（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
，
解得；
故直线BC的解析式：y=-x+3．
已知点M的横坐标为m，则M（m，-m+3）、N（m，-m2+2m+3）；
∴故MN=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m（0＜m＜3）．

（3）如图；
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，
∴S△BNC=（-m2+3m）•3=-（m-）2+（0＜m＜3）；
∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．