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如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的A、B两个顶点在x轴上,顶点C在y轴的...

如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的A、B两个顶点在x轴上,顶点C在y轴的负半轴上.已知OA:OB=1:5,OB=OC,△ABC的面积S△ABC=15,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点.
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)点P(2,-3)是抛物线对称轴上的一点,在线段OC上有一动点M,以每秒2个单位的速度从O向C运动,(不与点O,C重合),过点M作MH∥BC,交X轴于点H,设点M的运动时间为t秒,试把△PMH的面积S表示成t的函数,当t为何值时,S有最大值,并求出最大值;
(3)设点E是抛物线上异于点A,B的一个动点,过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F.以EF为直径画⊙Q,则在点E的运动过程中,是否存在与x轴相切的⊙Q?若存在,求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)由已知设OA=m,则OB=OC=5m,AB=6m,由S△ABC=AB×OC=15,可求m的值,确定A、B、C三点坐标,由A、B两点坐标设抛物线交点式,将C点坐标代入求解即可; (2)先根据点B、C的坐标求出直线BC的解析式,在设出点M的坐标,从而求出MH的解析式,根据抛物线的对称轴x=2得到直线MH与对称轴的交点D的坐标,求出DP的长度,然后根据S△PMH= S△PMD+S△PDH,列式得到关于t的二次函数,最后根据二次函数的最值问题解答即可; (3)存在.根据抛物线的解析式设出点E的坐标,然后根据二次函数的对称性求出点E到对称轴的距离,再根据以EF为直径的⊙Q与x轴相切,则点E到x轴的距离等于点E到对称轴的距离相等,然后列出方程,再根据绝对值的性质去掉括号解方程即可,从而得到点E的坐标. 【解析】 (1)∵|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|, 设OA=m,则OB=OC=5m,AB=6m, 由S△ABC=AB×OC=15,得×6m×5m=15, 解得m=1(舍去负值), ∴A(-1,0),B(5,0),C(0,-5), 设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-5),将C点坐标代入,得a=1, ∴抛物线解析式为y=(x+1)(x-5), 即y=x2-4x-5; (2)∵B(5,0),C(0,-5), ∴直线BC的解析式为:y=x-5, ∵点M的运动时间为t, ∴M(0,-2t), ∵直线MH平行于直线BC, ∴直线MH为y=x-2t, 设直线MH与对称轴交于点D,点D的坐标为(2,2-2t), ∴DP=(2-2t)-(-3)=5-2t, ∴S△PMH=×2t(5-2t)=-2t2+5t=-2(t-)2+,(0<t<), ∴当t=时,S有最大值是; (3)∵抛物线的解析式为y=x2-4x-5, ∴设点E的坐标为(x,x2-4x-5), 又∵抛物线的对称轴为x=2, ∴点E到对称轴的距离为EF=|x-2|, ∵以EF为直径的⊙Q与x轴相切, ∴|x-2|=|x2-4x-5|, ①x-2>0,x2-4x-5>0时,即x>5时,x-2=x2-4x-5, 整理得,x2-5x-3=0, 解得x=,x=(舍去), ∴x-2=, 此时点E的坐标为(,), ②x-2>0,x2-4x-5<0时,即2<x<5时,x-2=-(x2-4x-5), 整理得,x2-3x-7=0, 解得x=,x=(舍去), ∴-(x-2)=-(-2)=, 此时点E的坐标为(,), ③x-2<0,x2-4x-5>0时,即x<-1时,-(x-2)=x2-4x-5, 整理得,x2-3x-7=0, 解得x=,x=(舍去), ∴-(x-2)=-(-2)=, 此时点E的坐标为(,), ④x-2<0,x2-4x-5<0时,即-1<x<2时,-(x-2)=-(x2-4x-5), 整理得,x2-5x-3=0, 解得x=,x=(舍去), ∴x-2=-2=, 此时点E的坐标为(,), 综上所述,存在点E:(,),(,),(,),(,)使得以EF为直径的⊙Q与x轴相切.
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考点分析:
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(1)△ABE≌△CDF;
(2)BE∥DF.

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体育成绩(分)人数(人)百分比(%)
26816
27a24
2815d
29be
30c10
根据上面提供的信息,回答下列问题:
(1)求随机抽取学生的人数;______
(2)求统计表中m的值;  b=______
(3)已知该校九年级共有500名学生,如果体育成绩达28分以上(含28分)为优秀,请估计该校九年级学生体育成绩达到优秀的总人数.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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