Question

一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：

（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）所示．
（2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）所示．
（3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）所示．
（4）连结AE、AF，如图（5）所示．
经过以上操作小芳得到了以下结论：
①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④，
以上结论正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

根据折叠的性质可得∠BMD=∠BNF=90°，然后利用同位角相等，两直线平行可得CD∥EF，从而判定①正确；根据垂径定理可得BM垂直平分EF，再求出BN=MN，从而得到BM、EF互相垂直平分，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形求出四边形MEBF是菱形，从而得到②正确；连接ME，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠MEN=30°，然后求出∠EMN=60°，根据等边对等角求出∠AEM=∠EAM，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEM=30°，从而得到∠AEF=60°，同理求出∠AFE=60°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠EAF=60°，从而判定△AEF是等边三角形，③正确；设圆的半径为r，求出MN=r，EN=r，然后求出AN、EF，再根据三角形的面积公式与圆的公式列式整理即可得到④正确．
【解析】
∵纸片上下折叠A、B两点重合，
∴∠BMD=90°，
∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴∠BNF=90°，
∴∠BMD=∠BNF=90°，
∴CD∥EF，故①正确；

根据垂径定理，BM垂直平分EF，
又∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴BN=MN，
∴BM、EF互相垂直平分，
∴四边形MEBF是菱形，故②正确；

如图，连接ME，则ME=MB=2MN，
∴∠MEN=30°，
∴∠EMN=90°-30°=60°，
又∵AM=ME（都是半径），
∴∠AEM=∠EAM，
∴∠AEM=∠EMN=×60°=30°，
∴∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°，
同理可求∠AFE=60°，
∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，故③正确；

设圆的半径为r，则MN=r，EN=r，
∴EF=2EN=r，AN=r+r=r，
∴S△AEF：S圆=（×r×r）：πr2=3：4，故④正确；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选D．