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如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为1的圆的圆心O在坐标原点,且与两坐标轴分别...

如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为1的圆的圆心O在坐标原点,且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点.抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D,与直线y=x交于点M、N,且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴交x轴于点E,连接DE,并延长DE交圆O于F,求EF的长;
(3)过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P,判断点P是否在抛物线上,说明理由.

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(1)根据图形,易得点A、B、C、D的坐标;进而可得抛物线上三点D、M、N的坐标,将其代入解析式,求可得解析式; (2)有(1)的解析式,可得顶点坐标,即OE、DE的长,易得△BFD∽△EOD,再由EF=FD-DE的关系代入数值可得答案;(3)首先根据CD的坐标求出CD的直线方程,在根据切线的性质,可求得P的坐标,进而可得P是否在抛物线上. 【解析】 (1)∵圆心O在坐标原点,圆O的半径为1 ∴点A、B、C、D的坐标分别为A(-1,0)、B(0,-1)、C(1,0)、D(0,1) ∵抛物线与直线y=x交于点M、N,且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C ∴M(-1,-1)、N(1,1) ∵点D、M、N在抛物线上,将D(0,1)、M(-1,-1)、N(1,1)的坐标代入y=ax2+bx+c, 得: 解之,得: ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1. (2)∵y=-x2+x+1=-(x-)2+ ∴抛物线的对称轴为 ∴OE=,DE= 连接BF,则∠BFD=90° ∴△BFD∽△EOD ∴ 又DE=,OD=1,DB=2 ∴FD= ∴EF=FD-DE=. (3)点P在抛物线上. 设过D、C点的直线为y=kx+b 将点C(1,0)、D(0,1)的坐标代入y=kx+b,得 k=-1,b=1 ∴直线DC为y=-x+1 过点B作圆O的切线BP与x轴平行,P点的纵坐标为y=-1 将y=-1代入y=-x+1,得x=2 ∴P点的坐标为(2,-1) 当x=2时,y=-x2+x+1=-22+2+1=-1 所以,P点在抛物线y=-x2+x+1上.
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考点分析:
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如图点A,点B是反比例函数manfen5.com 满分网上两点,过这两点的直线与x轴的夹角为45度,与y轴的交点为(0,2),作AC∥x轴,AC⊥BC于点C,
①求阴影部分面积(用k的代数式表示);
②若BC和AC分别交x轴、y轴于D,E,连接DE,求证:△ABC∽△EDC;
③若S△ABC=4,求出这两个函数解析式.

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A、B两座城市之间有一条高速公路,甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入,并始终在高速公路上正常行驶.甲车驶往B城,乙车驶往A城,甲车在行驶过程中速度始终不变.甲车距B城高速公路入口处的距离y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系如图.
(1)求y关于x的表达式;
(2)已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶,设行驶过程中,相遇前两车相距的路程为s(千米).请直接写出s关于x的表达式;
(3)当乙车按(2)中的状态行驶与甲车相遇后,速度随即改为a(千米/时)并保持匀速行驶,结果比甲车晚40分钟到达终点,求乙车变化后的速度a.

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(1)求sin∠BAC的值;
(2)如果OE⊥AC,垂足为E,求OE的长;
(3)求tan∠ADC的值.(结果保留根号)

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为了进一步了解八年级500名学生的身体素质情况,体育老师对八年级(1)班50名学生进行一分钟跳绳次数测试,以测试数据为样本,绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如下所示:
组别次数x频数(人数)
第l组80≤x<1006
第2组100≤x<1208
第3组120≤x<140a
第4组140≤x<16018
第5组160≤x<1806
请结合图表完成下列问题:
(1)表中的a=______,次数在140≤x<160这组的频率为______
(2)请把频数分布直方图补充完整;
(3)这个样本数据的中位数落在第______组;
(4)若八年级学生一分钟跳绳次数(x)达标要求是:x<120不合格;x≥120为合格,则这个年级合格的学生有______人.

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如图,台风中心位于点P,并沿东北方向PQ移动,已知台风移动的速度为30千米/时,受影响区域的半径为200千米,B市位于点P的北偏东75°方向上,距离点P 320千米处.
(1)说明本次台风会影响B市;
(2)求这次台风影响B市的时间.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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