Question

“数学迷”小楠通过从“特殊到一般”的过程，对倍角三角形（一个内角是另一个内角的2倍的三角形）进行研究．得出结论：如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，如果∠A=2∠B，那么a²-b²=bc．
下面给出小楠对其中一种特殊情形的一种证明方法．
已知：如图2，在△ABC中，∠A=90°，∠B=45°．
求证：a²-b²=bc．
证明：如图2，延长CA到D，使得AD=AB．
∴∠D=∠ABD，
∵∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，∠CAB=90°
∴∠D=45°，∵∠ABC=45°，
∴∠D=∠ABC，又∠C=∠C
∴△ABC∽△BCD
∴，即
∴a²-b²=bc
根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明（用不同于材料中的方法也可以）：
已知：如图1，在△ABC中，∠A=2∠B．
求证：a²-b²=bc．

Answer

首先延长CA到D，使得AD=AB，得出∠D=∠ABC，进而得出△ABC∽△BDC，进而利用相似三角形的性质得出答案．
证明：延长CA到D，使得AD=AB，连接BD．
∴∠D=∠ABD，
∵∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，
∵∠CAB=2∠ABC，
∴∠D=∠ABC，又∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，即，
∴a2-b2=bc．