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已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,0),点B...

已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),经过点O、P折叠该纸片,得点B′和折痕OP.设BP=t.
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(Ⅰ)如图①,当∠BOP=30°时,求点P的坐标;
(Ⅱ)如图②,经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB′上,得点C′和折痕PQ,若AQ=m,试用含有t的式子表示m;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点C′恰好落在边OA上时,求点P的坐标(直接写出结果即可).
(Ⅰ)根据题意得,∠OBP=90°,OB=6,在Rt△OBP中,由∠BOP=30°,BP=t,得OP=2t,然后利用勾股定理,即可得方程,解此方程即可求得答案; (Ⅱ)由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的,可知△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP,易证得△OBP∽△PCQ,然后由相似三角形的对应边成比例,即可求得答案; (Ⅲ)首先过点P作PE⊥OA于E,易证得△PC′E∽△C′QA,由勾股定理可求得C′A的长,然后利用相似三角形的对应边成比例与m=,即可求得t的值. 【解析】 (Ⅰ)根据题意,∠OBP=90°,OB=6, 在Rt△OBP中,由∠BOP=30°,BP=t,得OP=2t. ∵OP2=OB2+BP2, 即(2t)2=62+t2, 解得:t1=2,t2=-2(舍去). ∴点P的坐标为(,6). (Ⅱ)∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的, ∴△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP, ∴∠OPB′=∠OPB,∠QPC′=∠QPC, ∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°, ∴∠OPB+∠QPC=90°, ∵∠BOP+∠OPB=90°, ∴∠BOP=∠CPQ. 又∵∠OBP=∠C=90°, ∴△OBP∽△PCQ, ∴, 由题意设BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,则PC=11-t,CQ=6-m. ∴. ∴m=(0<t<11). (Ⅲ)过点P作PE⊥OA于E, ∴∠PEA=∠QAC′=90°, ∴∠PC′E+∠EPC′=90°, ∵∠PC′E+∠QC′A=90°, ∴∠EPC′=∠QC′A, ∴△PC′E∽△C′QA, ∴, ∵PC′=PC=11-t,PE=OB=6,AQ=m,C′Q=CQ=6-m, ∴AC′==, ∴, ∴, ∴3(6-m)2=(3-m)(11-t)2, ∵m=, ∴3(-t2+t)2=(3-t2+t-6)(11-t)2, ∴t2(11-t)2=(-t2+t-3)(11-t)2, ∴t2=-t2+t-3, ∴3t2-22t+36=0, 解得:t1=,t2=, 点P的坐标为(,6)或(,6). 法二:∵∠BPO=∠OPC′=∠POC′, ∴OC′=PC′=PC=11-t, 过点P作PE⊥OA于点E, 则PE=BO=6,OE=BP=t, ∴EC′=11-2t, 在Rt△PEC′中,PE2+EC′2=PC′2, 即(11-t)2=62+(11-2t)2, 解得:t1=,t2=. 点P的坐标为(,6)或(,6).
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考点分析:
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下面给出小楠对其中一种特殊情形的一种证明方法.
已知:如图2,在△ABC中,∠A=90°,∠B=45°.
求证:a2-b2=bc.
证明:如图2,延长CA到D,使得AD=AB.
∴∠D=∠ABD,
∵∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D,∠CAB=90°
∴∠D=45°,∵∠ABC=45°,
∴∠D=∠ABC,又∠C=∠C
∴△ABC∽△BCD
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∴a2-b2=bc
根据上述材料提供的信息,请你完成下列情形的证明(用不同于材料中的方法也可以):
已知:如图1,在△ABC中,∠A=2∠B.
求证:a2-b2=bc.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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