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如图,在直角△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8.D、E分别是AC、BC...

如图,在直角△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8.D、E分别是AC、BC边的中点,点P从A出发沿线段AD-DE-EB以每秒3个单位长的速度向B匀速运动;点Q从点A出发沿射线AB以每秒2个单位长的速度匀速运动,当点P与点B重合时停止运动,点Q也随之停止运动,设点P、Q运动时间是t秒,(t>0)
(1)当t=______时,点P到达终点B;
(2)当点P运动到点D时,求△BPQ的面积;
(3)设△BPQ的面积为S,求出点Q在线段AB上运动时,S与t的函数关系式;
(4)请直接写出PQ∥DB时t的值.

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(1)由已知和勾股定理先求出BC,再由D,E分别是AC,BC的中点,求出AD、DE、BE,从而求出t; (2)先求出当点P运动到点D时所用时间,得出AQ的长,即可求出BQ的长,再根据△BPQ的面积=BQ•AP进行计算即可; (3)由已知用t表示出AQ、AP、BQ,再由∠A=90°,通过面积公式求出S与t的函数关系式; (4)通过假设,分两种情况讨论即可求解. 【解析】 (1)已知Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8, 由勾股定理得:BC===10, 又由D,E分别是AC,BC的中点, ∴AD=4,DE=3,BE=5, ∴当点P到达终点B时所用时间t=(4+3+5)÷3=4(秒), 答t的值为4秒. (2)当点P运动到点D时,所用时间为秒, 所以AQ=×2=, ∴BQ=6-=, ∴△BPQ的面积=BQ•AP=×4=; (3)①如图,当点P在AD上(不包含D点), 由已知得:AQ=2t,AP=3t, ∴BQ=AB-AQ=6-2t, 已知∠A=90°, ∴△BPQ的面积S=BQ•AP=(6-2t)•3t=-3t2+9t, 所以Q在线段AB上运动时,S与t的函数关系式为S=-3t2+9t. ②如图当点P在DE(包括点D、E)上, 过点P作PF⊥AB于F, 则PF=AD=4, ∴△BPQ的面积S=BQ•PF=(6-2t)•4=12-4t, 所以此时Q在线段AB上运动时,S与t的函数关系式为S=12-4t. ③当点P在BE上(不包括E点), 由已知得:BP=3+4+5-3t=12-3t, 过点P作PF⊥AB于F, ∴PF∥AC, ∴△BPF∽△BCA, ∴=, ∴=, ∴PF=, ∴△BPQ的面积S=BQ•PF=(6-2t)•=-t+, 所以Q在线段AB上运动时,S与t的函数关系式为S=-t+, (4)若PQ∥DB,则点P、Q必在DB同侧.分两种情况: ①当点Q在AB上,点P在AD上时, 假设PQ∥DB成立, 则△AQP∽△ABD, ∴=, ∴=, 此时方程的解是t=0,但此解不符合题意, 则PQ∥DB不成立, ②当3<t<4时,点Q在AB延长线上,点P在EB上, 此时PB=12-3t,PC=3t-7,BQ=2t-6. 若PQ∥DB,设直线PQ交DE与N, ∵DE∥AB, ∴△PEN∽△PBQ, ∴EN:BQ=PE:PB, 则EN=; 又∵NQ∥DB, ∴EN:ED=EP:EB, 则EN=, 所以=, 解得t=符合题意. 综上所述,当t= 时,PQ∥DB.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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