Question

如图，已知二次函数y=-x²+2mx的图象经过点B（1，2），与x轴的另一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BM⊥x轴垂足为点M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线BM上有点P（1，），联结CP和CA，判断直线CP与直线CA的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将点B（1，2），代入二次函数y=-x2+2mx，得到关于m的方程，求得m的值，从而得到二次函数的解析式；
（2）根据题意可知点A（3，0），C（2，2），P（1，），根据两点间的距离公式可得PA，PC，AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断直线CP与直线CA的位置关系；
（3）分①当点E在x轴上，PE∥CA，②当点E在y轴上，PC∥AE，两种情况讨论即可得到使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形的点E的坐标．
【解析】
（1）∵点B（1，2）在二次函数y=-x2+2mx的图象上，
∴-12+2m=2
解得m=．
故二次函数的解析式为y=-x2+3x；

（2）直线CP与直线CA的位置关系是垂直．
∵二次函数的解析式为y=-x2+3x，
∴点A（3，0），C（2，2），
∵P（1，），
∴PA2=，PC2=，AC2=5，
∴PA2=PC2+AC2，
∴∠PCA=90°，即CP⊥CA；

（3）假设在坐标轴上存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形，
∵∠PCA=90°，
则①当点E在x轴上，PE∥CA，
∴△CBP∽△PME，
∴=，
∴ME=，
∴E1（，0）；
②当点E在y轴上，PC∥AE，
∴△CBP∽△AOE，
∴=，
∴OE=，
∴E2（0，-）．
即点Q的坐标E1（，0）、E2（0，-）时，以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形．