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如图,AB是⊙O的直径,C为圆周上的一点,过点C的直线MN满足∠MCA=∠CBA...

如图,AB是⊙O的直径,C为圆周上的一点,过点C的直线MN满足∠MCA=∠CBA.
(1)求证:直线MN是⊙O的切线;
(2)过点A作AD⊥MN于点D,交⊙O于点E,已知AB=6,BC=3,求阴影部分的面积.

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(1)连接OC,求出∠ACB=90°,求出∠B=∠OCB=∠DCA,∠OAC=∠OCA,根据∠B+∠CAB=90°推出∠OCA+∠DCA=90°,根据切线的判定推出即可; (2)连接OE,CE,得出OC∥AE,求出∠B=60°,推出△OBC是等边三角形,△OEA是等边三角形,推出OC=AE,四边形AOCE是平行四边形,故S△EAC=S△EOC,得出S阴影=S△ADC-S扇形EOC,分别求出△ADC和扇形EOC的面积,代入后求出即可. (1)证明:连接OC, ∵AB是⊙O直径,C为圆周上的一点, ∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°, ∵OC=OB, ∴∠OCB=∠OBC,又∠MCA=∠CBA, ∴∠MCA=∠OCB, ∴∠ACO+∠MCA=90°, 即OC⊥MN, ∵OC为半径, ∴直线MN是⊙O的切线; (2)【解析】 连接OE,CE, 由(1)OC⊥MN,AD⊥MN,得OC∥AE, 在Rt△ACB中,cos∠B==, ∴∠B=60°, ∴OC=OB=BC=3, ∴△OBC是等边三角形, ∴∠COB=60°, ∵OC∥AE, ∴∠EAO=∠COB=60°, ∵OE=OA, ∴△OEA是等边三角形, ∴OC=AE,四边形AOCE是平行四边形,故S△EAC=S△EOC, 于是S阴影=S△ADC-S扇形EOC, 在Rt△ACB中,BC=3,AB=6,∴AC=3, 在Rt△ADC中,AC=3,∠DCA=∠B=60°,∴DC=,AD=, ∴S△ADC=AD•DC=,而S扇形EOC==, 于是S阴=S△ADC-S扇形EOC=.
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考点分析:
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(3)设从第1组和第5组中随机抽到的两名学生的成绩分别为m、n,求事件“|m-n|≤10”的概率.
分组编号成绩频数频率
第1组50≤s<600.04 
第2组60≤s<7080.16
第3组70≤s<800.4 
第4组80≤s<90170.34
第5组90≤s≤10030.06
合计  1


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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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