Question

如图，直线y=-2x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于点A、B，S_△OAB=16，抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过点A，顶点M在直线y=-2x+n上．
（1）求n的值；
（2）求抛物线的解析式；
（3）如果抛物线的对称轴与x轴交于点N，那么在对称轴上找一点P，使得△OPN和△AMN相似，求点P的坐标．

Answer

（1）由直线y=-2x+n可以求得OA，OB的长度，代入S△OAB=16解得n值；
（2）由直线与抛物线之间的关系，判断抛物线开口向下，且能求得对称轴的值，以及顶点M，又能求得点A，代入抛物线解析式即可；
（3）使得△OPN和△AMN相似，有两种情况：一种是点P与点M不重合，则由，根据（2）所求得的线段长度从而求得点P的纵坐标，横坐标即为抛物线对称轴，从而求得点P；另一种是点P与点M重合，即为点M坐标．
【解析】
（1）∵直线y=-2x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴当x=0时，y=n即B（0，n）；当y=0时，x=即点A（，0），
则OA=，OB=n，
∴=16，
解得n=±8．
∵n＞0，
∴n=-8不符题意，舍去．
故n=8；
答：n=8．

（2）由顶点M在直线y=-2x+8上，可设点M（x，-2x+8）．
由n=8，则点A（4，0），B（0，8）．
∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过原点及点A，且顶点M在直线y=-2x+8上，
∴a＜0，对称轴为，即，
把点A（4，0）代入y=ax2+bx，得：16a+4b=0①，
把x=2代入y=-2x+8，得M（2，4），
把点M的坐标代入抛物线解析式，得4a+2b=4②，
由①②解得：a=-1，b=4．
∴抛物线解析式为：y=-x2+4x；
答：抛物线解析式为y=-x2+4x．

（3）由题意设点P（2，y），则y=PN．
要使得△OPN和△AMN相似，
有两种情况：

一种：点P不与点M重合，则，
在Rt△MNA中，AN=4-2=2，MN=4，
代入，解得y=1．
∴点P（2，1）；
另一种：点P与点M重合．

则由题意可知点O与点A关于对称轴对称，
则△OPN≌△AMN，
∴△OPN∽△AMN，
∴点P（2，4）．
∴点P坐标为：（2，1）或（2，4）．
另外：点P与点M关于X轴对称点也可以，
∴点P坐标为：（2，-1）或（2，-4）．
答：点P坐标为：（2，1）或（2，4）或（2，-1）或（2，-4）．