Question

如图，抛物线y=ax²+bx+与直线AB交于x轴上的一点A，和另一点B（4，n）．点P是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线PQ与直线AB垂直，交直线AB于点Q，．
（1）求抛物线的解析式和cos∠BAO的值；
（2）设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PQ的长，并求出线段PQ长的最大值；
（3）点E是抛物线上一点，过点E作EF∥AC，交直线AB与点F，若以E、F、A、C为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点E的坐标．

Answer

（1）令直线AB解析式中y=0求出x的值，确定出A的坐标，将B坐标代入直线AB解析式中求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入抛物线解析式中求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式；过B作BH垂直于x轴，由B坐标求出OH与BH的长，根据OA+OH求出AH的长，利用勾股定理求出AB的长，在直角三角形ABH中，利用锐角三角函数定义即可求出cos∠BAO的值；
（2）过P作PM平行于y轴，交直线AB解析式于点M，PM的长等于P的纵坐标减去M纵坐标，表示出即可；由∠BAH=∠MPQ，得到两角的余弦值相等，在直角三角形MPQ中，由PM表示出PQ，利用二次函数的性质即可求出PQ的最大值；
（3）由C坐标及直线AB解析式，利用点到直线的距离公式求出C到直线AB的距离，设E坐标为（a，-a2+2a+），根据平行四边形的性质得到E到直线AB的距离等于C到直线AB的距离，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出满足题意E的坐标．
【解析】
（1）把y=0代入y=x+得：x=-1，
∴A（-1，0），
把点B（4，n）代入y=x+得：n=，
∴B（4，），
把A（-1，0）、B（4，）代入y=ax2+bx+得：，
解得：，
∴y=-x2+2x+，
过点B作BH⊥x轴于点H，则BH=2.5，OH=4，
∴AH=5，
由勾股定理得：AB==，
∴cos∠BAO===；
（2）过点P作PM∥y轴交直线AB于点M，
P（m，-m2+2m+），M（m，m+）
∴PM=（-m2+2m+）-（m+）=-m2+m+2，
∵∠BAH=∠MPQ，
∴PQ=PMcos∠MPQ=PMcos∠BAH=（-m2+m+2）=-m2+m+，
∵-＜0，
∴当m=-=时，PQ最大值=；
（3）设E（a，-a2+2a+），
∵C（0，），直线AB解析式为y=x+，
∴点C到直线AB的距离d==2，
∴E到直线AB的距离d==2，即|a2-a-2|=2，
整理得：a2-3a-8=0或a2-3a=0，
解得：a=或a=或a=0（与C重合，舍去）或a=3，
则E坐标为（3，4），（，），（，）