Question

已知：A、B、C三点不在同一直线上．
（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，
i）如图①，当∠A=45°，R=1时，求∠BOC的度数和BC的长；
ii）如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA=；
（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．

Answer

（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出BC的长；
ii）作直径CE，则∠E=∠A，CE=2R，利用sinA=sinE=，得出即可；
（2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin60°=，得出AP==（定值）．
【解析】
（1）i）∵A、B、C均在⊙O上，
∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°，
∵OB=OC=1，
∴BC=，
注：也可延长BO或过O点作BC的垂线构造直角三角形求得BC．

ii）证法一：如图②，作直径CE，则∠E=∠A，CE=2R，
∴∠EBC=90°
∴sinA=sinE=，
证法二：如图③．连接OB、OC，作OH⊥BC于点H，
则∠A=∠BOC=∠BOH，BH=BC
∴sinA=sin∠BOH===，

（2）如图④，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，
在Rt△APC中，CK=AP=AK=PK，
同理得：BK=AK=PK，
∴CK=BK=AK=PK，
∴点A、B、P、C都在⊙K上，
∴由（1）ii）可知sin60°=
∴AP==（定值），
故在整个滑动过程中，P、A两点间的距离不变．