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已知,如图,直角坐标系内的矩形ABCD,顶点A的坐标为(0,3),BC=2AB,...

已知,如图,直角坐标系内的矩形ABCD,顶点A的坐标为(0,3),BC=2AB,P为AD边上一动点(与点A、D不重合),以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F,过P、F作直线L,交BC边于点E,当点P运动到点P1位置时,直线L恰好经过点B,此时直线的解析式是y=2x+1.
(1)求BC、AP1的长;
(2)设AP=m,梯形PECD的面积为S,求S与m之间的函数关系式,写出自变量m的取值范围;
(3)以点E为圆心作⊙E与x轴相切.
①探究并猜想:⊙P和⊙E有哪几种位置关系,并求出AP相应的取值范围;
②当直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比值为3:5时,则⊙P和⊙E的位置关系如何并说明理由.

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(1)求BC、AP1的长,因为BC=2AB,可以根据直线的解析式是y=2x+1,确定B、P1的坐标,得出AB的距离,从而求出; (2)根据梯形PECD的面积公式求出PD、EC、CD的长,从而求出S与m之间的函数关系式,及自变量m的取值范围; (3)根据圆与圆的位置关系,圆心距>两圆的半径时外离,圆心距=两圆的半径时相切,圆心距<两圆的半径时相交,求出AP相应的取值范围,确定⊙P和⊙E的位置关系. 【解析】 (1)BC=4,AP1=1.y=2x+1,可以求出B(0,1),P1(1,3),AB=3-1=2,BC=2AB=4,AP1=1; (2)S=9-2m; ∵1≤m<4, ∴PD=4-m,EC=4-m+1=5-m,CD=2, ∴S=0.5(4-m+5-m)×2=9-2m(1≤m<4); (3)①在RT△ABP1中, ∵AB=2,AP1=1, ∴BP1=,点P在AD上运动时,PF=PE-EF=-1, 当⊙P和⊙E相切时,PF=PE-EF=-1; ∵RT△APF∽RT△ACD, ∴AP:AC=PF:CD, ∴AP=5, ∴当1≤m<5时,两圆外离, 当m=5时,两圆外切, 当5<m<4时,两圆相交. ②外离或相交.理由如下: ∵矩形ABCD的面积是8,且直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比值为3:5, ∴S四边形PECD=5或者S四边形PECD=3, 当S四边形PECD=5时,9-2m=5,m=2,即AP=2, ∴1≤AP<5, ∴此时两圆外离. 当S四边形PECD=3时,9-2m=3,m=3,即AP=3, ∴5<AP<4, ∴此时两圆相交.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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